Metsää generoitaessa tehdään ensin yksinkertaista satunnaisotantaa käyttäen halutunkokoinen otos todellisen metsän puista. Tämän jälkeen määrätään generoinnissa käytettävän polynomin aste p ja lasketaan pienimmän neliösumman menetelmällä parametrit  otoksen kullekin puulle i siten, että

(3.1)

missä

(3.2)

missä puolestaan yin on i. puun rungon läpimitta korkeudella xn.

Parametrien  oletetaan noudattavan moniulotteista normaalijakaumaa siten, että

(3.3)

missä

(3.4)

Kovarianssimatriisi S voidaan jakaa yksikäsitteisesti Choleskyn hajotelmaan siten, että

(3.5)

missä L on alakolmiomatriisi.

Generoimalla nyt haluttu määrä N(0,Ip)-jakautuneita satunnaislukuvektoreita z saadaan samalla haluttu määrä parametrivektoreita a kaavan

(3.6)

avulla.

Kun näistä generoiduista parametrivektoreista  muodostetaan matriisi A siten, että

(3.7)

saadaan generoitavan metsän runkokäyrästö Y(enn) yksinkertaisesti kaavalla

(3.8)

Runkokäyrää generoidaan siihen korkeuteen asti, jossa rungon läpimitta alittaa 90 cm.

Tämän jälkeen ohjelma pölkyttää sekä todellisen että generoidun metsän rungot tukeiksi luvussa 4 esitetyllä tavalla ja kerää talteen tiedot tukkien jakaumasta. Ohjelma testaa jakaumien samanlaisuutta toisaalta jakauma-asteella ja toisaalta c2-yhteensopivuustestillä.

Jakauma-aste lasketaan kaavalla

(3.9)

missä summataan yli kaikkien luokkien ja missä fi on 1. jakauman suhteellinen frekvenssi i:nnessä luokassa ja gi 2. jakauman suhteellinen frekvenssi samassa luokassa.

Optimoinnilla tarkoitetaan tässä yhteydessä rungon katkomista tukeiksi siten, että rungosta saatava hinta maksimoituu. Ongelma voidaan esittää suunnattuna graafina, josta etsitään graafin solmujen välinen pisin reitti. Tästä tulee nimitys pisimmän reitin algoritmi (Näsberg 1985), jonka avulla myös Simulaattori laskee optimaaliset katkaisukohdat. Pituus symboloi tässä tukista saatavaa hintaa. Koska käytettävä graafi on asyklinen, saadaan ongelma ratkaistua tehokkaasti.

Olkoon d standardinmukaisten tukkipituuksien suurin yhteinen tekijä (normaalisti 5–10 cm). Rungon hyödynnettävä osa jaetaan N:ään yhtäpitkään d:n pituiseen osaan. Nyt voidaan luoda graafi, jossa on N+1 solmua numeroituina 0:sta N:ään. Solmu i vastaa rungon kohtaa id, jonka oletetaan olevan mahdollinen katkaisukohta. Solmu 0 symboloi tyveä, solmu NT tukkirajaa ja solmu N hyödynnettävän osan korkeutta.

Graafiin liitetään särmä (i,k), jos rungon kohdat id ja kd ovat molemmat mahdollisia katkaisukohtia ja jos on olemassa standardinmukainen tukin pituus lj = (k–i)d. Särmälle annetaan sama arvo kuin vastaavalla tukilla olisi. Hinta määräytyy tukin tilavuuden, laadun, pituuden ja kapeamman pään halkaisija mukaan. Särmien vetämisessä käytetään apuna tietoa tukkien minimi- ja maksimipituuksista zmin ja zmax.

Koska optimaalinen katkaisu voi tuottaa myös hukkapuuta, vedetään jokaisesta mahdollisesta tukin päätössolmusta särmä viimeiseen solmuun N. Näille särmille annetaan arvoksi nolla.

Kun kaikki särmät on vedetty, graafista (kuva 4.1) etsitään pisin eli arvokkain reitti solmusta 0 solmuun N.

Kuva 4.1. Pisimmän reitin verkko (h(lj) on tukin hinta)

5.1. Ajoparametrit ja RMSE

Simulaattorissa on mahdollista suorittaa ajoja erilaisilla asetuksilla. Voidaan valita mm. ennustepolynomin aste, ennustepolynomissa käytettävien satunnaisvaikutustermien lukumäärä, ennustamisessa huomiotta jätettävän tyviosan pituus sekä pituus, jonka jälkeen Simulaattori laskee seuraavan katkaisukohdan. Seuraavassa tarkastellaan eri ajoparametrien vaikutusta RMSE:hen.

Ensin tutkittiin, miten ennustepolynomin aste vaikuttaa ennusteen onnistumiseen esimerkkiaineistossa. Tulokset on esitetty kuvassa 5.1. Käytettäessä 1. asteen polynomia RMSE sai suurempia arvoja ja myös sen keskihajonta oli suurempaa kuin käytettäessä 2. asteen polynomia. Varsinkin 3. katkaisun kohdalla ero oli huomattava. 3. asteen termin lisääminen 2. asteen polynomiin ei enää parantanut ennusteiden tarkkuutta tässä aineistossa, vaan sekä RMSE:n keskiarvo että hajonta kasvoivat hieman.

Kuva 5.1. RMSE:n keskiarvo ja hajonta vs polynomin aste

Esimerkkiaineistossa ennusteet onnistuivat siis parhaiten käytettäessä 2. asteen polynomia. Tällaisessa polynomissa voidaan käyttää enintään kolmea satunnaisvaikutustermiä. Seuraavaksi tutkittiin, miten satunnaisvaikutustermien lukumäärä vaikuttaa RMSE:hen.

Jos satunnaiskertoimet jätetään pois, ennustamisessa ei voida käyttää lainkaan hyväksi käsiteltävästä puusta mitattavaa tietoa, vaan ennustaminen tapahtuu kokonaan aiemmin mitatuista rungoista laskettujen keskiarvoparametrien avulla. Metsän puut ovat kuitenkin iältään ja kasvutavaltaan yksilöitä. Kun se jätettiin huomioimatta, ennusteet epäonnistuivat pahasti, kuten kuvasta 5.2 nähdään.

Jo ennustepolynomin vakiotermin korjaaminen satunnaisvaikutustermillä korjasi tilannetta merkittävästi. Sekä 1. että 2. katkaisussa RMSE laski kolmasosaan. Lisättäessä satunnaiskertoimia myös polynomin muihin kertoimiin tilanne ei muuttunut enää yhtä selvästi. 1. katkaisussa useampien satunnaiskertoimien käyttöönotto ei parantanut ennusteita lainkaan. 2. katkaisussa ennusteet paranivat jonkin verran. 3. katkaisun kohdalla yhden satunnaiskertoimen käyttö ei parantanut ennusteita vielä niin selvästi kuin aikaisempien katkaisujen kohdalla. Toisen satunnaiskertoimen mukaanottaminen pienensi myös 3. katkaisun RMSE-arvot kolmasosaan.

Kuva 5.2. RMSE:n keskiarvo ja hajonta vs satunnaisvaikutustermien lkm

Edellä esitetyn ja aiempien tutkimusten perusteella näyttää siltä, että 2. asteen polynomi korjattuna kahdella satunnaisvaikutustermillä antaa parhaat ennusteet kuusille. Ennusteen tarkkuuteen vaikuttaa myös rungon tyviosa. Tyvi on usein muodoltaan epäsäännöllinen. Paksutyvinen puu ei välttämättä ole pitkä. Kuvasta 5.3 nähdään, kuinka rungon läpimitta eri korkeuksilla korreloi rungon pituuden kanssa esimerkkiaineistossa. Alimmillaan korrelaatiokerroin on 90 cm korkeudella (0,34).

Kuva 5.3. Runkojen läpimittojen korrelaatiot pituuden kanssa 12 metriin asti

Siksi ennustetta laskettaessa onkin usein järkevää jättää tyviosa pois. Kuvassa 5.4 esitetään, kuinka RMSE käyttäytyi, kun tyvestä pois jätettävää osuutta vähitellen pidennettiin. RMSE 1. katkaisukohdassa pieneni tasaisesti 120 cm korkeudelle asti, jonka jälkeen se vakiintui. Tyviosan ennustetta häiritsevä vaikutus ei ulottunut enää 2. katkaisukohdassa laskettuun ennusteeseen.

Kuva 5.4. RMSE ja tyvestä poisjätetty osa

Tyven halkaisijan ja RMSE:n korrelaatio on 0,63. Halkaisijan ja RMSE:n korrelaatio pienenee korkeuden kasvaessa. 1,2 metrin korkeudella se on 0,45. Täytyy muistaa kuitenkin, että sekä RMSE että tyven halkaisija ovat molemmat riipuvaisia puun koosta yleensäkin.

Mitä pitemmälle runkoa mitattiin ennenkuin ennuste laskettiin ja katkaisu suoritettiin, sitä paremmin ennusteet onnistuivat kuten oli odotettavissakin. Tulokset on esitetty kuvassa 5.5. RMSE laski sekä 1. että 2. katkaisun kohdalla tasaisesti. Ajoja suoritettiin 30 cm välein.

Kuva 5.5. RMSE ja tunnetun osan pituus

5.2. Simuloinnin tuloksia

Esimerkkiajo suoritettiin Simulaattorin oletusarvojen mukaisesti luvussa 5.1 esitettyjen tulosten vahvistettua niiden soveltuvan parhaiten myös 50 kuusesta koostuvaan esimerkkiaineistoon. Ennustepolynomi alustettiin 20 ensimmäisen rungon avulla ja ennusteiden onnistumista tutkittiin loppujen 30 rungon kohdalla. Esimerkkiajon tuloksia on esitelty sivuilla 10–11 taulukossa 5.1 ja kuvissa 5.6 ja 5.7.

Ennusteen onnistumisen mittana käytetään RMSE:n ohella tappiofunktiona optimaalisen ja ennusteen mukaan lasketun hinnan erotusta sekä suhteellista hintaa. Syntynyt tappio ja suhteellinen hinta eivät ole suoraan riippuvaisia RMSE:stä. Laskettaessa hinnat hintamatriisista pienikin virhe ennusteessa saattaa koitua kalliiksi, jos sen vuoksi viimeinen tukki jää hieman minimivaatimusta lyhyemmäksi. Toisaalta katkaisuvaihtoehtoja on paljon ja niistä voi useampikin tuottaa hyvän lopputuloksen. RMSE:n ja tappion välinen korrelaatio on 0,35 sekä RMSE:n ja suhteellisen hinnan yllättäen 0,005.

Ennusteet onnistuivat lyhyille rungoille, joita oli 14 kappaletta, lähes poikkeuksetta erittäin hyvin. Puolella näistä lyhyistä rungoista optimaaliset ja ennusteen perusteella lasketut katkaisukohdat olivat täysin samat ja muulloinkin tappio jäi melko pieneksi. Poikkeuksena oli runko 23. Vaikka sen RMSE olikin pieni, tappiosta tuli huomattavan suuri. Tämä johtuu siitä, että rungon alaosassa oli jotain epäsäännöllisyyttä, minkä vuoksi tukkirajan ennustettiin olevan hieman korkeammalla kuin se todellisuudessa oli. Ensimmäinen tukki katkaistiin siten liian pitkäksi. Toista tukkia ei enää saatu ja tukkipuuksi kelpaavaa puuta jäi hyödyntämättä lähes kolme metriä.

Myös pitkillä rungoilla suuren tappion syynä oli kaikissa tapauksissa se, että tukkirajan oltiin ennustettu olevan hieman korkeammalla kuin se todellisuudessa oli. Tällaisessa tilanteessa toiseksi viimeinen katkaisu tehtiin liian myöhään ja loppu runko jäi hukkapuuksi. Tästä ovat hyviä esimerkkejä rungot 16, 19, 23, 25 ja 30. Runkojen 23 ja 25 tapauksessa viimeinen tukki saatiin kyllä katkaistua Simulaattoriin ohjelmoitujen ehtojen mukaisesti. Saadun tukin hinta oli kuitenkin hintamatriisissa nolla.

Tappiota syntyy myös, jos tukkirajan ennustetaan olevan matalammalla, kuin se on todellisuudessa. Tällöin ensimmäinen ja arvokkain tukki katkaistaan liian lyhyeksi, kuten kävi rungon 4 tapauksessa. Tällaisessa tilanteessa syntynyt tappio jäi kuitenkin pienemmäksi kuin tapauksessa, jossa osa puusta jäi hyödyntämättä.

Taulukko 5.1. Esimerkkiajon tulokset (optimaalinen arvo suluissa)
 

Kuva 5.6. Esimerkkiajon runkokäyrästö

Runko 4: Runko ennustettiin liian lyhyeksi. Seurauksena ensimmäinen tukki katkaistiin hieman liian lyhyeksi. Tappio: 15.

Runko 15: Runko on epäsäännöllisen muotoinen 10 metrin korkeudella heti toisen ennusteen laskemiskohdan jälkeen. Seurauksena RMSE kasvaa kaksinkertaiseksi verrattuna ensimmäiseen katkaisukohtaan. Tappio: 11.

Runko 16: RMSE on erittäin suuri. Rungon alaosa on epäsäännöllinen. Lisäksi se kapenee voimakkaasti 9,5 metrin korkeudella. Toisen katkaisun kohdalla runko ennustetaan paljon pitemmäksi kuin se todellisuudessa on. Tappio: 26.

Runko 27: Ennuste onnistui hyvin ja RMSE on pieni. Noin 10 metrin korkeudella runko kapenee kuitenkin hieman voimakkaammin ja runko ennustettiin hiukkasen liian pitkäksi. Tappio: 29.

Kuva 5.7. Esimerkkejä ennusteista

Kuvassa 5.8 on esitetty optimaaliset ja ennusteen mukaan saadut tukkijakaumat. Simulaattori on pyrkinyt katkaisemaan ensimmäisen ja kolmannen tukin selvästi pitemmäksi kuin se olisi katkaistu optimaalisessa tapauksessa. Jakauma-asteet 1., 2. ja 3. katkaisun kohdalla ovat 0,63, 0,85 ja 0,56.

Kuva 5.8. Tukkien pituusjakaumat

Esimerkkiaineiston perusteella vaikuttaa siltä, että tukkipuuksi kelpaavan rungon osan ennustaminen liian pitkäksi on pahempi virhe kuin sen ennustaminen liian lyhyeksi. Jälkimmäisessä tapauksessa metsätyökone voi suorittaa viimeisen katkaisun vasta oikealla tukkirajalla ennusteesta välittämättä, joten koko tukkipuuksi kelpaava runko tulee hyödynnettyä. Todellisuudessa tilanne ei ole kuitenkaan aivan näin yksinkertainen. Vaikka puun yläosasta ei saataisikaan enää tukkia, kelpaa se kuitenkin todennäköisesti ainakin kuitupuuksi, mikä pienentää syntynyttä tappiota.

Virheet ennusteisiin syntyvät ennustettamattomissa olevista epäsäännöllisyyksistä runkokäyrissä. Ne voivat johtua esimerkiksi mittavirheistä, oksakohdista tai epäsäännöllisestä kasvutavasta. Mittavirhettä on syytä epäillä silloin, kun runkokäyrässä on pitkä jakso, jossa runko ei kapene lainkaan. Metsätyökoneen mittauslaitteen pyörät ovat tällöin saattaneet pyörähtää tyhjää hypätessään oksakohdassa tai luistaa liukkaalla rungolla.
 
 

5.2. Metsän generoinnin tuloksia

Esimerkkiajo suoritettiin ottamalla 200 kuusen runkokäyrästä 20 rungon otos, josta sitten generoitiin 200 runkokäyrää. Ennustepolynomina käytettiin 2. asteen polynomia ja tukkien hinnat laskettiin hintamatriisista.
 

Kuva 5.9. 0. asteen parametri Kuva 5.10. 1. asteen parametri Kuva 5.11. 2. asteen parametri					Generoinnissa oletetaan, että runkokäyrien parametrit ovat normaalisti jakautuneita. Todellisuudessa ne eivät kuitenkaan noudata normaalijakaumaa. Varsinkin 0. asteen termi eli vakiotermi noudattaa pikemmin beta- tai Weibull-jakaumaa. Normaaliapproksimaatio riittää kuitenkin antamaan suhteellisen hyviä tuloksia. Lisäksi sen etuna on yksinkertaisuus. Moniulotteisesen normaalijakauman käsittely on huomattavasti ongelmattomampaa kuin moniulotteisen beta- tai Weibull-jakauman. Kuvissa 5.9 – 5.11 on esitetty esimerkkiajon parametrien jakaumat ja taulukossa 5.2 parametreihin liittyviä tunnuslukuja ja testituloksia. Koska generoitujen runkokäyrien parametrit ovat normaalisti jakautuneita, voidaan jakaumien c2-yhteensopivuustestin p-arvoja käyttää tässä tapauksessa myös todellisten parametrien normaalijakautuneisuuden testaamiseen tietyin varauksin. 0. asteen termin eli vakiotermin p-arvo on hyvin pieni ja niin on syytä epäillä todellisten parametrien normaalisuutta myös esimerkkiaineistossa.
	c2	df	p			Tod.	Otos	Enn.
0. aste	21,7	7	0,003	keskiarvo		28,98	29,20	28,84
				hajonta		3,76	3,23	3,18
1. aste	13,2	8	0,106	keskiarvo		–0,83	–0,83	–0,81
				hajonta		0,36	0,37	0,41
2. aste	10,6	7	0,156	keskiarvo		–0,03	–0,03	–0,03
				hajonta		0,02	0,02	0,02

Taulukko 5.2. Parametrien tunnusluvut ja c2-yhteensopivuustestin tulokset.
 
 
 

Runkokäyrän parametreistä kuvaa 0. asteen termi parhaiten niin puun pituuden kuin läpimitankin suuruusluokkaa. Se korreloi voimakkaasti nimenomaan läpimitan kanssa, kuten kuvan 5.12 pisteparvesta, joka kuvaa 0. asteen termin sekä puun läpimitan suhdetta 130 cm korkeudella, voidaan nähdä. Verrattaessa generoidun runkokäyrästön läpimittojen jakaumia alkuperäisen aineiston läpimittojen jakaumiin vaikuttaa siltä, että kuten 0. asteen termin jakauma eivät myöskään todellisten runkojen läpimitat noudata normaalijakaumaa. Jakaumat ovat vinoja verrattuna teoriassa normaalisti jakautuneiden, generoitujen runkokäyrien läpimittojen jakaumiin. Jakaumien samanlaisuutta testattaessa saadut p-arvot 0,118 ja 0,071 ovat pienehköjä, mutta niiden avulla ei voi kuitenkaan tulkita jakaumien eroavan toisistaan ratkaisevasti. Kuvissa 5.13 ja 5.14 on esitetty tilanne 130 ja 600 cm korkeuksilla.  Kuvassa 5.15 esitetyt tukkirajan korkeuden jakaumat ovat hyvin samanlaiset niin silmämääräisesti kuin testisuureittenkin avulla tarkastellen. Testin p-arvo oli 0,399. Kuvassa 5.16 on esitetty hyödynnettävän osan pituuden jakaumat. Testin p-arvo on 0,000. Sen mukaan jakaumat eivät olisi yhteensopivat. Silmämääräisesti tarkastellen ero ei kuitenkaan vaikuta kovin suurelta. Generoidut rungot ovat jonkin verran pitempiä kuin todelliset. Tämä johtuu osittain siitä, ettei esimerkkiaineiston kaikkia runkokäyriä ole esitetty eksplisiittisesti hyödynnettävän osan loppuun asti.

Kuva 5.12. 0. asteen termi ja läpimitta Kuva 5.13. Läpimitta 130 cm korkeudella Kuva 5.14. Läpimitta 600 cm korkeudella Kuva 5.15. Tukkirajan pituus Kuva 5.16. Hyödynnettävän osan pituus

Tarkastellaan lopuksi vielä todellisesta ja generoidusta aineistosta saatuja tukkijakaumia. Graafisesti tarkastellen (kuva 5.11) näyttää siltä, että normaalijakaumaan perustuva generointi tuotti melko hyvän tuloksen. Tukkien pituusjakaumat ovat kaikkien katkaisujen kohdalla melko samanlaiset. Todellisen metsän tukeista saatu hinta oli 49177 ja generoidusta 47298. Eroa syntyi 1879 eli 3,8 %.

Kuva 5.17. Todellisesta ja generoidusta aineistosta saadut tukkijakaumat