# Luennot vko 36, vrt H1.6/2006
# Satunnaiskoe
# Lantin heitto
#####################
# Lotto; Valitaan 7 numeroa 39:stä
sample(1:39,7)  # [1] 15 10 39  8 25 38  2
sample(c("R","L"),10,replace=T) # [1] "R" "L" "R" "R" "L" "L" "L" "R" "L" "R"
sample(0:1,10,replace=T)
n<-10
sample(c(0,1),n,replace=T)
sum(sample(c(0,1),n,replace=T))/n

sample(c(0,1),n,replace=T,prob=c(0.4,0.6))
sum(sample(c(0,1),n,replace=T,prob=c(0.4,0.6)))/n

########################################################
# Suhteellinen frekvenssi heittojen lukumäärän funktiona
##########
Suhtfr <- function(n) # Heitetään rahaa n kertaa; Lasketaan kruunujen (1) suht.fr
#						  jokaisen heiton jälkeen
{
x<-sample(c(0,1), n, replace = TRUE)
x<-cumsum(x); i<-1:n; x<-x/i
return(x)
}
# Plotataan suhteellinen frekvenssi
n<-100
#par(mfrow=c(2,2))
plot(1:n,Suhtfr(n),ylim=c(0,1),type="l",axes=F)
axis(2,c(0,0.2,0.4,0.5,0.6,0.8,1))
axis(1,seq(0,n,n/10))
abline(h=c(0.5),lty=3)
########################################################

# Empiirinen kertymäfunktio
###########################
x<-c(18,12,14,11,24,14,24,22,24,10,8,19,21,22,24,24,24,6,24,21)
length(x)
sort(x)
# [1]  6  8 10 11 12 14 14 18 19 21 21 22 22 24 24 24 24 24 24 24
median(x)

# Empiirinen kertymäfunktio
############################
n<-length(x)
plot(sort(x),(1:n)/n,type="s")
# plot(sort(x),(1:n)/n,type="s",ylim=c(0,1))

# Funktio

Fn <- ecdf(x)
plot(Fn)
plot(Fn, verticals= TRUE, do.p = FALSE)
plot(Fn, do.p = FALSE)

summary(Fn)
Empirical CDF:    11 unique values with summary
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
    6.0    10.5    14.0    15.0    20.0    24.0
############################### 

# Empiirinen jakaumafunktio
############################
# P(8,14)=Fn(14)-Fn(8)
x[8<x & x<=14]
# [1] 12 14 11 14 10
length(x[8<x & x<=14])
# [1] 5
length(x[8<x & x<=14])/n
#[1] 0.25

Fn(14)-Fn(8)
# [1] 0.25

# Histogrammi
#############
hist(x)
# hist(x,freq=F)
h<-hist(x,hist(x,freq=F))

names(h)
#[1] "breaks"      "counts"      "intensities" "density"     "mids"       
#[6] "xname"       "equidist" 

summary(h)

jkp<-c(5.5,10.5,13.5,16.5,18.5,20.5,22.5,24.5)
hh<-hist(x,breaks=jkp)
names(hh)
#[1] "breaks"      "counts"      "intensities" "density"     "mids"       
#[6] "xname"       "equidist"

#hist(x,breaks=jkp,freq=T)
# hist(x,breaks=jkp,probability = !freq)

n<-100
# Luokkakeskipiste
jkp1<-c(5.5,10.5,13.5,16.5,18.5,20.5,22.5); jkp2<-c(10.5,13.5,16.5,18.5,20.5,22.5,24.5)
lkp<-(jkp1+jkp2)/2

xp<-rep(lkp,hh$counts) # tai xp<-rep(hh$mids,hh$counts)
hist(xp,breaks=jkp)

#######################################
# Tiedoston siirto, miten parhaiten?
onn<-read.table("C:\\kurssit\\Mtt06\\Datat\\kaivos_onn.dat",header=T,skip=5)
attach(onn)

     Fn <- ecdf(days)
     Fn; summary(Fn)

Empirical CDF 
Call: ecdf(days)
 x[1:109] =      1,      4,      4,  ...,   1613,   1630
Empirical CDF:    109 obs.
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
    1.0    54.0   145.0   239.1   312.0  1630.0 

#a
plot(Fn)
plot(Fn, verticals= TRUE, do.p = FALSE)

#b
# Lasketaan ecdf:n arvo pisteissä 54, 145, 239.1, 312

a<-c(54, 145, 239.1, 312)
Fn(a)
# [1] 0.2568807 0.5045872 0.6697248 0.7522936

sort(days)
#c
# Tulkitse erotus Fn(312)-Fn(54)
Fn(312)-Fn(54)
#[1] 0.4954128

#####################
# Todennäköisyysmallit 
# 1.3.1 Satunnaiskoe, ks. alusta lantin heitto

############################
# 1.3.2 Joukko-operaatiot
############################
http://www.math.uah.edu/stat/

# 1.3.3 Todennäköisyys
######################
# Harhaton noppa, Esimerkki 1.4, s. 8
n<-10
sample(1:6,n,replace=T,prob=rep(1/6,6))
a<-1:6; p<-rep(1/6,6)
sample(a,n,replace=T,prob=p)

############################
# Luennot vko 36, vrt H1.7
# 1.3.5 Todennäköisyyden tulkinnat
# http://www.pokeri.info/ruletti.htm

# Tapahtuman A mahdollisuus eli odds
# H1.7
#(a)
kasino<-c(3,2,3,6,3,7,6,9) 
odds<-c(1/3,1/2,1/3,1/6,1/3,1/7,1/6,1/9) 
length(odds)
# [1] 8
odds
[1] 0.3333333 0.5000000 0.3333333 0.1666667 0.3333333 0.1428571 0.1666667
[8] 0.1111111

# Jos voiton mahdollisuudet toteuttavat reilun pelin säännön
panoksesi/kasinon panos = odds(A), missä A on tarkasteltava tapahtuma, niin
otn<-odds/(1+odds) 
otn
[1] 0.2500000 0.3333333 0.2500000 0.1428571 0.2500000 0.1250000 0.1428571
[8] 0.1000000

# Esimerkiksi HPK:n voiton mahdollisuus on 1:3 tai 1/3.
# Maksat 1, kun veikkaat HPK:ta. Jos HPK voittaa, saat 3, muutoin et mitään.
# Ts. menetät "osallistumismaksun" 1, jos HPK ei voita. 

# Tässä tapauksessa joukkueiden voiton mahdollisuudet eivät toteuta reilun
pelin sääntöä, sillä otn:t eivät voi olla todennäköisyyksiä.
S<-sum(otn)
S
[1] 1.594048
Koska yksi ja vain yksi joukkue voittaa varmasti, todennäköisyyksien summan
täytyy olla yksi. Tässä
sum(otn) = 1.594048 > 1.
Tämä tarkoittaa, että pelipankin maksamat voitot ovat liian pieniä (verrattuna
reilun pelin sääntöön).

#(b)
tn<-otn/S
tn
[1] 0.15683346 0.20911128 0.15683346 0.08961912 0.15683346 0.07841673 0.08961912
[8] 0.06273338

# Reilun pelin toteuttavat pelipankin maksut
rkasino<-(1-tn)/tn
5.376190  3.782143  5.376190 10.158333  5.376190 11.752381 10.158333 14.940476
kasino
3 2 3 6 3 7 6 9

#(c)
oddsr<-tn/(1-tn)
oddsr
[1] 0.18600531 0.26440038 0.18600531 0.09844135 0.18600531 0.08508914 0.09844135
[8] 0.06693227

# "Todellisia" todennäköisyyksiä ei tiedetä.
# On mahdollista, että joissain kohteissa kasino maksaa liian paljon,
# mutta pääsee silti voitolle tai ainakin ns. reiluun peliin eli omilleen.

# Esimerkki 1
###########
# Tapahtumien A, B, C todennäköisyydet
p<-c(0.1,0.6,0.3)
odds.vp<-(1-p)/p
odds.vp
9.0000000 0.6666667 2.3333333  # reilun pelin mukaiset
# Muutetaan siten, että kasino maksaa B:n ja C:n voitosta
# 1 ja 3 eli enemmän kuin reilun pelin mukaan kuuluisi
# Silloin P(B)=1/(1+1)=1/2 ja P(C)=1/(1+3)=1/4
# Kasino voi maksaa kohteesta A vain 3, mutta silti päästään kokonaisuuden
# kannalta reiluun peliin
kasino.u<-c(3,1,3)
tn.u<-1/(1+kasino.u)

# Jos pelataan yhdellä yksiköllä kaikkia kohteita, niin
# 0.25*1+0.5*1+0.25*1= 1 = 0.1*1+0.6*1+0.3*1

# Olkoon potti (1+3)+(1+1)+(1+3)=10
# Jos pelataan vain 1. kohdetta A, niin reilun pelin mukaan oikea hinta on
# 0.1*10=1

# Esimerkki 2/noppa
###########
p<-c(1/6,1/3,1/2)  # (1) 1;(2) 2,3;(3) 4,5,6
odds.vp<-(1-p)/p
odds.vp
#[1] 5 2 1

# Potissa 100. Kannattaa maksaa pelien (1) ;(2) ja (3) oikeudesta vastaavasti
(1/6)*100; (1/3)*100; (1/2)*100


###################################
###################################
# Ehdollinen todennäköisyys
###########################
# The Monty Hall problem
#http://math.ucsd.edu/~crypto/Monty/monty.html
###########################
# Eloonjäämistaulukko
e<-c(98040,95662,84483) # Elossa olevien lkm 20, 45 ja 65 vuotiaina

# P(T>45|T>20)=P(T>45 & T>20)/P(T>20) = P(T>45)/P(T>20)
e[2]/e[1] # [1] 0.9757446