# Luento 19.09.07
# Kombinatoriikkaa (s. 12)
#################
gamma(x)
choose(n, k)
factorial(x)

############################
prod(1:5)        # 5!   5-kertoma
prod((6-4+1):6)  # 6^(4)  6:n 4-kertoma
x<-5
factorial(x)

# Esimerkki 2.3 Syntymäpäiväongelma (Luennot s. 12)
###################################################
#
# SYNTYMÄPÄIVÄONGELMA
#
##################################################
      # r on ryhmän koko
Ainakin kahdella on sama syntymäpäivä?
Kaikilla eri syntymäpäivä?
A={Ainakin kahdella on sama syntymäpäivä}
A^c = {Kaikilla eri syntymäpäivä}
P(A) = 1 - P(A^c)

############
# Yksi arvo
############
# Kiinnitetään ryhmän koko

r<-30
a<-prod(365:(365-r+1)); b<-365^r
tn<-(1-a/b)    #  tn, että ainakin kahdella on sama syntymäpäivä, r=30
###############

# r:n funktiona
###############
r<-50
a<-cumprod(365:(365-r+1)); b<-365^(1:r)
y<-(1-a/b)    # tn, että ainakin kahdella on sama syntymäpäivä r:n funktiona, ks. s. 13
plot(1:r,y)


# Kertoma (s. 25)
#########
choose(6,2)      # 6 kahden yli;      prod((6-2+1):6)/prod(1:2)

# Multinomikerroin (s. 25)
###################
choose(6,3)*choose(3,2)*choose(1,1)        # 6!/3!2!1!
prod(1:6)/(prod(1:3)*prod(1:2)*prod(1:1))  # 6!/3!2!1!
###################


# 2.3.6 Gammafunktio (s. 28)
############################
gamma(1)
gamma(10)
prod(1:9)
gamma(1/2)
# [1] 1.772454
sqrt(pi)
# [1] 1.772454

# 2.5.1 Hypergeometrinen jakauma (s. 22)
dhyper(x, m, n, k)   # f(x), missä m=a, n=b, k=n; 
x<-0:4
dhyper(x,4,6,5)  # tnf:n arvot x:n arvoilla 0,1,2,3,4
plot(x,dhyper(x,4,6,5))
sum(dhyper(x,4,6,5))


# E2.12   Lotto, m=7, n=32, k=7

# (a)
dhyper(7,7,32,7)
# [1] 6.501554e-08
choose(39,7)     # Kaikkien lottorivien lukumäärä
# [1] 15380937
1/choose(39,7)   # a-kohdan vastaus
# [1] 6.501554e-08

#(b) 
# Ainakin 5 oikein on P(X>4)=1-P(X<=4)
# P(X<=4)=F(4)=phyper(4,7,32,7)
# Vastaus: 1-F(4)=
1-phyper(4,7,32,7)

# Toinen tapa:
x<-5:7
sum(dhyper(x,7,32,7))

##############
# E2.13
# (a)
x<-5
dhyper(x,400,11600,50)

# (b)
# 5% on 0.05*50
0.05*50
# [1] 2.5  on 5% 50:stä

# Todenn., että vähemm. kuin 5% otokseen on
phyper(2,400,11600,50)
# [1] 0.7677245

# 2.7 Binomijakauma (s. 25)
n<-50
pbinom(x,n,0.05)


# Binomijakauma jakauma
# dbinom(x, size, prob) ; size = otoskoko, prob= onnistumistodennäköisyys
x<-0:20
n<-20
dbinom(x,n,1/3)
plot(0:20,dbinom(x,n,1/3))


# Pelataan Efronin noppaa.
# Annetaan arvo n:lle ja nollataan aluksi tulos.

n<-10
# Noppa A  
sample(c(1,1,5,5,9,9),n,replace=T) # Heitetään n kertaa harhatonta noppaa
# sample(c(1,1,5,5,9,9),n,replace=T, prob=c(1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6)) # sama kuin yllä

# Noppa B
sample(c(3,3,4,4,8,8),n,replace=T)

# Noppa C
sample(c(2,2,6,6,7,7),n,replace=T)

tulos<-0
# Noppa A vastaan B
d<-sample(c(1,1,5,5,9,9),n,replace=T)-sample(c(3,3,4,4,8,8),n,replace=T)
d<-as.numeric(d>0)
2*sum(d)-n; tulos<-tulos+2*sum(d)-n
tulos

# Noppa B vastaan C
d<-sample(c(3,3,4,4,8,8),n,replace=T)-sample(c(2,2,6,6,7,7),n,replace=T)
d<-as.numeric(d>0)
2*sum(d)-n; tulos<-tulos+2*sum(d)-n
tulos

# Noppa C vastaan A
d<-sample(c(2,2,6,6,7,7),n,replace=T)-sample(c(1,1,5,5,9,9),n,replace=T)
d<-as.numeric(d>0)
2*sum(d)-n; tulos<-tulos+2*sum(d)-n
tulos

##########################
H1.1
########################
# 1.2 
# \item Ohessa on kolme $200$:n heiton sarjaa, joista yksi on tuotettu heittämällä "oikeata"
# harhatonta
# rahaa $200$ kertaa ($200$ riippumatonta toistokoetta, jossa kruunun tn = $1/2$.) Muut poikkeavat
# selvästi (?) "oikeasta" rahanheittokokeen tuloksesta. Koeta päätellä tai arvata, mikä on se
# aito rahanheiton tulos (Vrt. Mustonen: SURVO MM, Opetusohjelmat/Todennäköisyyksien laskentaa). 
# Laske jokaisesta sarjasta kruunujen lkm. Onko edellisen tehtävän tulosten perusteella uskottavaa, 
# että sarjat on saatu harhattomalla rahalla.

y1<-c(1,1,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,0,0,1,1,1,0,1,0,0,1,1,1,0,1,1,1,
0,0,0,1,1,1,1,1,1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,
0,0,1,0,0,1,1,0,1,0,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1,0,0,0,0,1,1,0,0,1,0,
1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,0,1,1,1,0,0,1,0,0,1,0,1,0,1,0,
0,0,0,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,1,0,1,1,0,1,0,0)

y2<-c(1,1,0,0,0,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,1,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,
0,0,1,0,1,1,0,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,1,1,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,1,0,1,0,1,0,
1,0,1,1,0,1,1,1,1,1,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,1,1,0,1,1,0,1,1,1,0,0,0,0,1,
1,1,0,1,0,1,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,1,1,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,
0,1,1,1,1,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,1,1,1,1,1,1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,1,0,1,0)

y3<-c(0,0,1,1,1,1,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1,0,1,0,
1,0,1,0,0,1,0,0,1,1,1,0,1,1,0,1,0,0,0,0,0,1,0,1,0,1,0,0,0,0,1,0,1,1,0,1,0,1,0,1,
1,0,1,0,0,1,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,
0,0,1,0,0,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1,1,0,1,0,1,0,0,1,1,1,1,1,0,1,0,0,1,0,
1,0,0,1,0,1,0,1,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,1,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0,
1,1,0)

sum(y1); sum(y2);sum(y3);
# [1] 95
# [1] 98
# [1] 99

Lantit näyttävät olevan harhattomia, jos tulosta verrataan "oikealla" rahalla tehdyn 
simulointikokeen tulokseen. (Ks. R1:n alku, simulointi Kruunut-ohjelmalla)
Sarjat poikkeavat kuitenkin muissa suhteissa. Kiinnitetään huomiota toistosten lkm:ään.

# Heitetään "oikeata" lanttia.
n<-200
sample(c(0,1), n, replace = TRUE)
# Katsotaan, miten oikea lantti käyttäytyy

##############
# Analysoidaan tehtävää H1.1 tarkemmin 
# 1.3 
\item Tarkastellaan nyt edellisen tehtävän heittosarjoissa esiintyvien kruunun $1$-toistosten
lukumääriä (Kruunun $n$-toistos tarkoitaa sitä, että kruunu esiintyy $n$ kertaa peräkkäin.)
Tehdään simulointikoe. Tehdään harhattomalla rahalla $200$ riippumatonta heittoa, toistetaan
heittosarja $500$ kertaa ja lasketaa jokaisesta heittosarjasta $1$-toistosten lkm. $1$-toistosten
lkm:t ovat tiedostossa {\tt toistoslkm.dat}. Muodosta tuloksista histogramma (suhteellisia frekvenssejä 
käyttäen). Edellisen tehtävän heittosarjoissa $1$-toistosten lkm:t olivat: $45, 27$ ja $46$ . 
Mikä onkaan se oikea heittosarja? Perustele.

# tlkm<-toistosjak.1(200,500)
tlkm<-read.table("C:\\kurssit\\Mtt\\Datat\\toistoslkm.dat")
attach(tlkm); names(tlkm); hist(x)
summary(tlkm)
#   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
#  13.00   22.00   25.00   25.03   28.00   39.00 
 toistokset.1(y1)
#[1] 45
 toistokset.1(y2)
#[1] 27
toistokset.1(y3)
# 46

# Simuloitu jakauma lähellä todellista. On erittäin epätodennäköistä, että jonot 1 ja 3
# olisi saatu "oikealla" rahanheitolla.
##########
# Lasketaan toistuvasti 1-toistosten lukumääriä 200 heiton sarjoissa
n<-200
toistokset.1(sample(c(0,1), n, replace = TRUE))
##########
hist(x)
br<-seq(9.5,42.5,3)
hist(x,br,freq=F)
#####################
toistokset.1 <- function(x) # Syotteenä heittojono x; Palauttaa 1-toistosten lukumäärän
{
lkm <-0
if(x[1]==1 & x[2]==0) lkm <-lkm+1
for(i in 2:(length(x)-1))
{
if(x[i-1]==0 & x[i]==1 & x[i+1]==0) lkm<-lkm+1
}
if(x[length(x)]==1 & x[length(x)-1]==0) lkm<-lkm+1
return(lkm)
}
#####################
rahanheitto <- function(n) # Heitetään harhatonta rahaa n kertaa
{
x<-sample(c(0,1), n, replace = TRUE)
return(x)
}
###########
toistosjak.1 <- function(n,nn) # Tuotetaan n:n pituisia sarjoja nn kertaa
{
y<-rep(0,nn)
for(i in 1:nn)
{
y[i]<-toistokset.1(rahanheitto(n)) 
}
return(y)
}
# Tutkitaan 1-toistosten jakaumaa
#################################
y<-toistosjak.1(200,100)
hist(y)
max(y)