# Matemaattinen tilastotiede, syksy 2007 #

#################
# Harjoitus 8.7 #
#################

# Verrataan todennäköisyyksiä: X ~ Bin(200,0.01) ja Y ~ Poi(E(X))

# kokeillaan, kun x saa arvot 0,1,2,...,200
x <- 0:200

n <- 200
p <- 0.01
mu <- n*p # = E(X)
mu
[1] 2


# binomijakauman mukaiset todennäköisyydet:
binomi <- dbinom(x,size=n,prob=p)
binomi

  [1]  1.339797e-01  2.706660e-01  2.720330e-01  1.813553e-01  9.021970e-02
  [6]  3.572336e-02  1.172736e-02  3.282985e-03  8.000204e-04  1.723950e-04
 [11]  3.326004e-05  5.802945e-06  9.231958e-07  1.348569e-07  1.819498e-08
 [16]  2.278967e-09  2.661672e-10  2.909968e-11  2.988351e-12  2.891440e-13
 [21]  2.643185e-14  2.288472e-15  1.880792e-16  1.470272e-17  1.095279e-18
.
.
.
[161] 1.371498e-278 3.441867e-281 8.369672e-284 1.970921e-286 4.491505e-289
[166] 9.898634e-292 2.108143e-294 4.335381e-297 8.601947e-300 1.645223e-302
[171] 3.030417e-305 5.370223e-308 9.145906e-311 1.495214e-313 2.343596e-316
[176] 3.517056e-319 5.039470e-322  0.000000e+00  0.000000e+00  0.000000e+00
[181]  0.000000e+00  0.000000e+00  0.000000e+00  0.000000e+00  0.000000e+00
[186]  0.000000e+00  0.000000e+00  0.000000e+00  0.000000e+00  0.000000e+00
[191]  0.000000e+00  0.000000e+00  0.000000e+00  0.000000e+00  0.000000e+00
[196]  0.000000e+00  0.000000e+00  0.000000e+00  0.000000e+00  0.000000e+00
[201]  0.000000e+00

# huomataan, että kun x on suuri, R pyöristää binomi-todennäköisyyden nollaksi

# Poisson-jakauman mukaiset todennäköisyydet:
poisson <- dpois(x,lambda=mu)
poisson

  [1]  1.353353e-01  2.706706e-01  2.706706e-01  1.804470e-01  9.022352e-02
  [6]  3.608941e-02  1.202980e-02  3.437087e-03  8.592716e-04  1.909493e-04
 [11]  3.818985e-05  6.943609e-06  1.157268e-06  1.780413e-07  2.543447e-08
 [16]  3.391262e-09  4.239078e-10  4.987150e-11  5.541278e-12  5.832924e-13
 [21]  5.832924e-14  5.555166e-15  5.050151e-16  4.391435e-17  3.659530e-18
.
.
.
[156] 1.290632e-228 1.654657e-230 2.107843e-232 2.668156e-234 3.356171e-236
[161] 4.195214e-238 5.211446e-240 6.433884e-242 7.894336e-244 9.627239e-246
[166] 1.166938e-247 1.405949e-249 1.683772e-251 2.004490e-253 2.372178e-255
[171] 2.790797e-257 3.264090e-259 3.795454e-261 4.387808e-263 5.043458e-265
[176] 5.763952e-267 6.549945e-269 7.401068e-271 8.315807e-273 9.291404e-275
[181] 1.032378e-276 1.140749e-278 1.253571e-280 1.370023e-282 1.489155e-284
[186] 1.609897e-286 1.731072e-288 1.851414e-290 1.969590e-292 2.084222e-294
[191] 2.193918e-296 2.297296e-298 2.393017e-300 2.479810e-302 2.556505e-304
[196] 2.622057e-306 2.675568e-308 2.716313e-310 2.743750e-312 2.757538e-314
[201] 2.757538e-316

# huomataan, että kun x on suuri, myös poisson-todennäköisyydet ovat hyvin lähellä nollaa

######
# tutkitaan tn:ien eroa itseisarvona
######

abs(binomi-poisson)

  [1]  1.355608e-03  4.556659e-06  1.362443e-03  9.082956e-04  3.820233e-06
  [6]  3.660521e-04  3.024384e-04  1.541014e-04  5.925126e-05  1.855429e-05
 [11]  4.929812e-06  1.140664e-06  2.340724e-07  4.318437e-08  7.239489e-09
 [16]  1.112295e-09  1.577406e-10  2.077182e-11  2.552927e-12  2.941484e-13
 [21]  3.189739e-14  3.266694e-15  3.169359e-16  2.921163e-17  2.564251e-18
 [26]  2.148759e-19  1.722487e-20  1.323461e-21  9.764171e-23  6.928732e-24
.
.
.
[181] 1.032378e-276 1.140749e-278 1.253571e-280 1.370023e-282 1.489155e-284
[186] 1.609897e-286 1.731072e-288 1.851414e-290 1.969590e-292 2.084222e-294
[191] 2.193918e-296 2.297296e-298 2.393017e-300 2.479810e-302 2.556505e-304
[196] 2.622057e-306 2.675568e-308 2.716313e-310 2.743750e-312 2.757538e-314
[201] 2.757538e-316

# poimitaan suurin absoluuttinen ero:
max(abs(binomi-poisson))
[1] 0.001362443

which.max(abs(binomi-poisson))
[1] 3

# yllä oleva antaa sen kohdan todennäköisyyksien jonosta, missä ero on suurin
# huom. ensimmäinen on todennäköisyys P(X=0), toinen on P(X=1), kolmas on P(X=2) jne.

# Siis suurin absoluuttinen ero, kun x=2

# poimitaan pienin absoluuttinen ero:
min(abs(binomi-poisson))
[1] 2.757538e-316

which.min(abs(binomi-poisson))
[1] 201

# Siis pienin absoluuttinen ero, kun x=200

######
# Kun n on suuri ja p on pieni Poisson-jakaumaa voidaan käyttää binomijakauman likiarvona.
# Tässä esimerkisssä huomataan, että todennäköisyydet ovat hyvin lähellä toisiaan.
######